MATEMATICAS 1

alumno: Salinas López Juan Felipe grupo 207

Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.

También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.

El ángulo se anota:  

Dos rectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, α y β.

Al ángulo α se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo β es cóncavo.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:

Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°

∠ α = 90°

Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°

∠ α = < 90°

Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°

∠ α = 180°

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°

∠ α = > 90° < 180º

Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°

∠ α = 360°

 TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales. 

Teoremas sobre rectas paralelas

TEOREMA 5.1
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.2
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.3
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.4 
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.5
Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.
TEOREMA 5.6
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos interiores son congruentes.

TEOREMA 5.7
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos exteriores son congruentes.

TEOREMA 5.8
Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los angulos correspondientes son congruentes.

TEOREMA 5.9
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

puntos y lugares geometricos de un triangulo

1.                Mediatriz de un segmento de extremos conocidos A y B:

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos extremos. Dichos puntos, son los puntos de la recta perpendicular al segmento  AB que pasa por el punto medio, I, de éstos

Mediatriz de un segmento AB

2.                 Bisectriz de un ángulo:

Fijado un ángulo, determinado por dos semirrectas con un origen común O, la bisectriz de dicho ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que pasando por O equidistan de ambas rectas.
También podemos afirmar que es la recta que pasando por O divide al ángulo en dos partes igualesBisectriz de un ángulo

Nota: Dadas dos rectas r y s secantes en un punto O; siempre podremos dibujar la bisectriz interior (Que corresponde al menor de los ángulos entre r y s) y las bisectriz exterior que corresponde al suplementario del ángulo anterior.Bisectrices de dos rectas secantes

3.                Circunferencia de centro C y radio r:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C denominado centro. Dicha distancia es el radioCircunferencia de centro C y radio r

4.                Circuncentro de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Dicho punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triánguloCircuncentro de un triángulo

5.                Baricentro (o centro de gravedad) de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los vértices del triángulo. Mediana de un vértice es la recta que pasa por dicho vértice y por el punto medio del lado opuesto.Baricentro de un triángulo

6.                Ortocentro  de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las rectas alturas de cada uno de los vértices del triángulo. Altura de un vértice es la recta que pasa por dicho vértice y perpendicular al lado opuesto.Ortocentro de un triángulo

7.                 Incentro  de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de cada uno de los ángulos del triángulo. Bisectriz de un vértice del triángulo es la recta que pasa por dicho vértice y divide a dicho ángulo interior en dos partes iguales. (Es la bisectriz interior de las rectas que contienen dos lados del triángulo).
Es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triánguloIncentro de un triángulo

Nota: Es interesante remarcar que el ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo están alineados. A dicha recta que los contiene se le denomina recta de EulerRecta de Euler

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BIOGRAFIAS DE MATEMATICOS

Nombre (y datos biográficos) Área de investigación Tales de Mileto c. 624 a. C. en Mileto, Asia Menor c. 546  a. C.1 Tales fue un filósofo griego, estadista, matemático, astrónomo e ingeniero. Según se señala en los escritos conservados, Tales habría demostrado teoremas geométricos sobre la base de definiciones y premisas con ayuda de reflexiones sobre la simetría. Tales aspiraba a encontrar una explicación racional del universo. El teorema de Tales se llama así en su honor. Pitágoras de Samos c. 570 a. C. después de 510 a. C. Pitágoras de Samos fue matemático, filósofo y fundador de la agrupación secreta de los pitagóricos. Elteorema de Pitágoras, llamado así por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitágoras. Eudoxo de Cnidos 410 o 408 a. C. 355 o 347 a. C. Eudoxo fue un matemático, astrónomo, geógrafo y médico griego. Clasificó los conceptos de número,longitud, dimensión espacial y temporal y estableció los fundamentos para la teoría de la proporción. Su teoría de la proporción ya contenía el axioma de Arquímedes o «axioma de continuidad»2 y anticipaba resultados del comportamiento de los irracionales. Desarrolló el método de exhausción y determinó el volumen de la pirámide y del cono. Euclides de Alejandría c. 365 a. C. probablemente en Alejandría o Atenas c. 300 a. C. Euclides intentó establecer la matemática, y especialmente la geometría, sobre fundamentosaxiomáticos. En su manual de 13 volúmenes «Los Elementos» resumió el conocimiento matemático de aquel entonces. La geometría euclidiana o euclídea y el algoritmo de Euclides son conceptos que se denominan así en su honor. Arquímedes de Siracusa c. 287 a. C. probablemente en Siracusa, Sicilia 212 a. C. también en Sicilia Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero griego, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina hoy en día con el número pi (π). Además calculó la superficie bajo una parábola. El principio de Arquímedes se llama así en su honor. Apolonio de Perge 262 a. C. en Perge 190 a. C. en Alejandría En Κωνικά («Cónicas»), su obra más importante acerca de las secciones de un cono, Apolonio de Perge se dedicó a investigar detenidamente la problemática de las secciones cónicas, determinación de los extremos y de los límites de una sucesión. Entre otros, el círculo de Apolonio se denomina así en su honor. Diofanto de Alejandría Fechas de nacimiento y muerte desconocidas entre 100 a. C. y 350 a. C. Diofanto de Alejandría fue un matemático griego sobre quien se conservan muy pocos datos biográficos. Sin embargo, se sabe bastante más sobre sus obras, donde la más conocida es la Aritmética en varios volúmenes.3 Se dedicó a la búsqueda de soluciones de ecuaciones algebraicas con varias incógnitas. Hoy día se denominan ecuaciones diofánticas a las ecuaciones algebraicas para las que se busca una solución dentro del conjunto de los números enteros. Herón de Alejandría Fechas exactas de nacimiento y muerte desconocidas vivió probablemente entre 200 a. C. y 300 a. C. Herón de Alejandría fue un destacado matemático e ingeniero griego. Desarrolló un procedimiento que lleva su nombre para el cálculo de raíces cuadradas y la fórmula de Herón, la que permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus lados. Liu Hui ca. 220; ca. 280]) Liu Hui (劉徽) fue un matemático chino. Vivió en el período del reinado Wei y se le conoce por haber escrito una serie acerca de matemáticas para la vida cotidiana. La obra (que consta de nueve libros) se publicó en el año 263.4 5 Entre sus aportes más destacados se cuentan: el cálculo del número π a través de la inscripción de polígonos regulares en un círculo (propuso una aproximación de 3,14); la solución de sistemas de ecuaciones lineales a través de un procedimiento que corresponde buena medida al que más tarde se denomina procedimiento de eliminación de Gaus y el cálculo del volumen del prisma, el tetraedro, la pirámide, el cilindro, el cono y el tronco cónico. También escribió en 263 elHaidao suanjing (Manuel matemático de las islas marinas) que contiene métodos para la medición de terrenos y que se utilizó con este fin durante más de un milenio en el lejano oriente.6 7 Véase también: :Categoría:Matemáticos de la Antigua Grecia Edad Media[editar · editar código] En el período histórico que desde el punto de vista eurocéntrico se denomina Edad Media, fueron principalmente eruditos provenientes de la región árabe y persa quienes aportaron nuevos conocimientos y continuaron desarrollando la matemática de los griegos. En la Baja Edad Media se abrieron paso poco a poco aportes de la matemática con influencia islámica, que también llegaron a la Europa cristiana. La fundamentación del álgebra actual constituye el aporte más importante de los matemáticos islámicos. Nombre (Datos biográficos) Área de Investigación Aryabhata 476 en Ashmaka c. 550 Aryabhata fue un sabio, matemático y astrónomo hindú. Se supone que el concepto de 0 (cero) fue conocido por él, aunque fue en trabajos más recientes de Brahmagupta donde el cero se trató como un número independiente. Aryabhata determinó de manera muy precisa, para las condiciones de aquel entonces, el número π (Pi): en 3,1416 y parece haber intuido que se trataba de un número irracional. Brahmagupta 598 668 Brahmagupta desempeñó sus labores como matemático, así como también de astrónomo en India. Estableció reglas para la aritmética con los números negativos y fue el primero que definió y utilizó el cero para los cálculos. La fórmula de Brahmagupta lleva su nombre. Al-Juarismi c. 780 entre 835 y 850 Al-Juarismi fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa. Se le considera como uno de los matemáticos más relevantes debido a que se dedicó – al contrario que Diofanto, por ejemplo – no a lateoría de los números, sino al álgebra como forma de investigación elemental. Al-Juarismi introdujo de la matemática hindú la cifra cero (árabe: sifr) en el sistema arábico y con ello en todos los sistemas numéricos modernos. En sus libros expone estrategias de solución sistemáticas para ecuaciones lineales y cuadráticas. El término «álgebra» se debe a la traducción de su libro Hisab al-dschabr wa-l-muqabala. Thabit ibn Qurra 826 en Harrán, Turquía; 18 de febrero de 901 en Bagdad Thabit ibn Qurra (latín: Thebit) hizo contribuciones a la generalización del teorema de Pitágoras y delpostulado de las paralelas. Además se dedicó a los cuadrados mágicos y a la teoría de números. Su teorema de los números amigos es muy conocido. Al-Battani entre 850 y 869 en Harrán 929 en Schloss Dschaß Al-Battani es considerado un gran matemático y astrónomo de la edad media islámica. Transmitió al mundo árabe los fundamentos de la matemática hindú y el concepto de cero. Pero, sobre todo, el mérito de Al-Battanis gira en torno a la trigonometría; fue el primero en utilizar el seno en lugar de lascuerdas. Halló y demostró por primera vez el teorema del seno, así como el hecho de que la tangenterepresenta la relación entre el seno y el coseno. Abu'l Wafa 10 de junio de 940 en Buzjan 15 de julio de 998 en Bagdad Abu'l Wafa hizo aportes significativos a la trigonometría. Fue el primero en introducir las funcionessecante y cosecante y en utilizar la función tangente. Propuso también la definición de las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria. Además simplificó los métodos antiguos de latrigonometría esférica y demostró el teorema del seno para los triángulos esféricos en general. Alhazen c. 965 en Basra 1039/40 en El Cairo Alhazen (Al-Haitham) fue un matemático, óptico y astrónomo árabe. Se dedicó principalmente a problemas de la geometría y, a través de una aplicación temprana del principio de inducción, encontró una fórmula para la suma de las cuartas potencias, pudiendo con ello calcular por primera vez el volumen del paraboloide. Además, logró resolver el problema que lleva su nombre, a través de calcular geométricamente, con secciones cónicas en un espejo esférico, el punto desde el cual un objeto desde una distancia dada se proyecta en una imagen determinada. Omar Jayam c. 1048 en Nishapur, provincia de Jorasán 1131 Omar Jayam fue un matemático y astrónomo persa. Halló la solución para las ecuaciones de tercer grado y sus raíces a través de su expresión geométrica. Se dedicó también principalmente al problema de las paralelas y a los números irracionales. Los desarrollos de su obra prevalecieron en álgebradurante mucho tiempo. Leonardo Fibonacci c. 1180 después de 1241 Leonardo da Pisa, más conocido como Fibonacci es considerado el matemático europeo más importante de la Edad Media. Hoy en día se le conoce sobre todo por los números que llevan su nombre y conforman la sucesión de Fibonacci. A través del estudio de la geometría de Euclides, escribió un compendio de sus conocimientos matemáticos en su obra principal Liber abbaci. Li Ye 1192 en Tahsing, hoy Pekín 1279 en la provincia de Hopeh (Hebei) Li Ye fue un matemático chino que vivió durante la Dinastía Song. Dejó como legado dos importantes libros acerca de cálculo de la superficie y perímetro del círculo, así como métodos de cálculo para reducir a ecuaciones algebraicas los problemas geométricos. Se reconoce también su aporte a la definición de los números negativos. Su método de solución de ecuaciones se asemeja mucho al enfoque conocido mucho más tarde como algoritmo de Horner. Zhu Shijie c. 1260 c. 1320 Zhu Shijie fue uno de los más importantes matemáticos chinos. La obra de Zhu trata sobre aproximadamente 260 problemas del las áreas de la aritmética y del álgebra. Su segundo libro El precioso espejo de los cuatro elementos, escrito en el año 1303 elevó al álgebra china al más alto nivel. La obra incluye una explicación de su método de los cuatro elementos, el que se puede usar para representar ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas. Zhu aclaró como encontrar raíces cuadradasy aportó un complemento a la comprensión de las series y secuencias. Al comienzo del libro hay una imagen que muestra la representación de los coeficientes binomiales, el hoy día denominado triángulo de Pascal. Al Kashi (Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi) c. 1380 en Kashan 22 de junio de 1429 en Samarcanda En su obra r-Risala al-Muhitija determinó el perímetro de la circunferencia goniométrica (es decir, unitaria, cuyo perímetro es el doble del número π) en base al polígono regular de 3·228 lados, con una precisión de 9 posiciones sexagecimales: 6;16,59,28,01,34,51,46,14,50, las que convirtió a 16 posiciones decimales. Esta es una de las más antiguas documentaciones del cálculo con fracciones decimales. Fue partidario del reemplazo del sistema sexagesimal por el decimal para las operaciones con fracciones. Con el objetivo de predecir más fácilmente la ubicación de los planetas construyó una especie de computador analógico, el Tabaq-al-Manateq, el cual estaba construido de manera semejante a un astrolabio8 . En Francia el teorema del coseno se denomina en su honor Théorème d'Al-Kashi. Ángulos y su clasificación

T-eoremas en triángulos

Teorema 1: Relación entre lados

En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.

Teorema 2: Relación entre ángulos

En todo triángulo la suma de sus ángulos (interiores) es igual a 180°.

Teorema 3: Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Clasificación de triángulos según la medida de sus lados

El perímetro de un triángulo se calcula como “la suma del largo de sus lados”.
El área de un triángulo se calcula como “su base por la altura divida en dos”.

Triángulo Equilátero

El triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:

 

Triángulo Isósceles

El triángulo isósceles es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.

 

Triángulo Escaleno

El triángulo escaleno es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.

 

Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos

Triángulo Acutángulo

El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.

Triángulo Rectángulo

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).

Triángulo Obtusángulo

El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso, tal como se muestra a continuación:

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13			a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12
eorema de Tales

Tales de Mileto.

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

Resolver una desigualdad

Sabemos que una desigualdad es similar a una ecuación, donde hay dos expresiones separadas por un símbolo que las relaciona.

En una desigualdad también hay dos expresiones separadas por un símbolo que indica como una  expresión se relaciona con la otra.

Por ejemplo, en una ecuación como 7x = 49, el signo = indica que las expresiones son equivalentes.

En una desigualdad, como 7x > 49, el signo > indica que el lado izquierdo es mayor que el lado derecho.

Para resolver la desigualdad 7x > 49, seguimos los mismos pasos que para resolver las ecuaciones.

En este caso, dividimos ambos lados por 7 entonces

 x > 7 (equis mayor que 7). Esto implica que x es un valor que es mayor a 7 y nunca igual o menor a 7.

En las desigualdades también se puede encontrar el signo “menor que” (<).

Repasemos las propiedadses de las desigualdades

Las principales propiedades de las desigualdades son:

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva.

Ejemplo:

7 < 15
7 + 3 < 15 + 3 , o sea que
10 < 18

2) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.

Ejemplo:

7 < 15
7 × 3 < 15 × 3 , o sea que
21 < 45

3) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Ejemplo: 7 < 15
7(-3) < 15(-3) , o sea que
- 21 > - 45 " (se invirtió el signo).

Esta tercera propiedad es la responsable de que las desigualdades, cuando tienen variable en el denominador, se resuelvan de manera diferente a las ecuaciones que tienen también a la variable en el denominador.

Y no solamente eso, sino que cuando se despeja la incógnita teniendo coeficiente negativo, como realmente se multiplica en ambos lados por una cantidad negativa (no “pasa” al otro lado dividiendo), el signo de la desigualdad se invierte.

Resolver:

5 > 3 = 
5 – 3 > 3 – 3 (restamos 3 a cada lado, la desigualdad se conserva) 2 > 0 (cierto)

— 7 < 5 =
 — 7 + 7 < 5 + 7 (sumamos 7 a cada lado, la desigualdad se conserva ) 0 < 12 (cierto)

— 5 < 4 =
 — 5 + 5 < 4 + 5 (sumamos 5 a cada lado, la desigualdad se conserva) 0 < 9 (cierto)

— 3 > — 1 = 
 — 3 no es mayor que — 1  (si sumamos 3 a cada lado, se demuestra que  — 3 + 3 > — 1 + 3,
entonces 0 sería > 2 (cero mayor que dos, lo cual no es).

3 ≤ — 2 = 
3 no es igual o menor que menos 2

7 > 5 = 
7 — 5 > 5 — 5 (restamos 5 a cada lado, la desigualdad se conserva) 2 > 0 (cierto)