Matemáticas II

Alumno: Juan Felipe Salinas López

SEGUNDO PARCIAL

POLÍGONOS

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de   que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.

Elementos de un polígono

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

·         Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

·         Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

·         Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no consecutivos

·         Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

·         Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.

·         Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.

·         Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

·         Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

·         Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.

·         Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

LOS POLIGONOS  TIENEN DOS FORMAS DE CLASIFICARSE:

NUMERO DE LADOS	NOMBRE
Tiene 3 lados	Triangulo
Tiene 4 lados	Cuadrilátero
Tiene 5 lados	Pentágonos
Tiene 6 lados	Hexágonos
Tiene 7 lados	Heptágonos
Tiene 8 lados	Octágonos
Tiene 9 lados	Eneágono
Tiene 10 lados	Decágono
Tiene 11 lados	Endecágono
Tiene 12 lados	Dodecágono
Tiene 13 lados	Tridecagono
Tiene 14 lados	Tetradecagono
Tiene 15 lados	Pentadecágono

Según sus ángulos:

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores

Cóncavos

Si su ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior.

ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS

Ángulos interiores de un polígono

Son los determinados por dos lados consecutivos. 

Suma de ángulos interiores de un polígono 

· Si n es el número de lados de un polígono: 

· Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° 

Diagonal 

Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos 

Número de diagonales de un polígono 

· Si n es el número de lados de un polígono: 

· Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

ejemplo

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 

6 · (6 − 3) : 2 = 9

ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES

Polígonos regulares:

observando la imagen, basta sumar las áreas de triángulos iguales

h: es la altura del triangulo o apotema del polígono

b: es la base del triángulo o lado del polígono

Teoremas de ángulos dentro, sobre y fuera de la circunferencia 

Teoremas fundamentales- Ángulos

Teorema de las secantes

Teorema de la tangente y la secante

Teorema de las tangentes

Teorema de las cuerdas

Teorema de las secantes

Teorema de las Secantes: Si dos rectas secantes a un círculo se cortan en el exterior de él, el producto del segmento exterior por el segmento total en una de ellas es igual al respectivo producto en la otra secante.

Teorema de la tangente y la secante

Si un segmento tangente y un segmento secante se dibujan hacia un círculo desde un punto exterior, entonces el cuadrado de la medida del segmento tangente es igual al producto de las medidas del segmento secante y su segmento secante externo.

Teorema de las tangentes

Teorema de la geometría de triángulos que relaciona la suma y diferencia de dos lados con 

las tangentes de los ángulos correspondientes.

Teorema de las cuerdas

si en una circunferencia se tienen dos cuerdas secantes, el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

si AB y CD son cuerdas que se intersectan en un punto P cualquiera interior a la circunferencia.

Área y perímetro de una circunferencia

Área

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.

Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.

Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

A=π⋅r2

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

 En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r=10cm. El área se calcularía de la siguiente forma:

A=π⋅r2=π⋅102=314,16 cm2

Perímetro

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.

De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r.

La expresión es la siguiente:

P=2⋅π⋅r

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro r es r=10 cm.

Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:

P=2⋅π⋅r=2⋅π⋅10=62,83 cm

Por tanto, el resultado es que el perímetro vale 62,83 cm.