Matemáticas II

miércoles, 12 de febrero de 2014

Alumno: Juan Felipe Salinas López

Geometría

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas,perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafoo el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con lasecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica,arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

Teorema
Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma.
Un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica matemática. Los teoremas también pueden ser expresados en lenguaje natural formalizado.
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

Corolario

Tipos de geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría del espacio

Geometría no euclidiana

Geometría algebraica

Geometría analítica

Geometría clásica

Geometría de dimensiones bajas

Geometría descriptiva

Geometría diferencial

Geometría de curvas y superficies

Geometría de Riemann

Geometría diferencial de curvas

Geometría diferencial de hipersuperficies

Geometría diferencial de superficies

Geometría diferencial de variedades

Geometría sintética

Bisectriz



La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas de un ángulo.

Ángulo 

 recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.


Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

1. Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.


Región angular

Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan. Estos ángulos se miden de acuerdo a su área similtudinal, es decir lo que mide realmente con Eudemo. Existen realmente diferentes ángulos llamados convexos y cóncavos se les llama así porque varia la medida del ángulo que se relacionan un poco con el ángulo recto, obtuso y sobre todo oblicuo.


Las unidades de medida de ángulos



Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

· Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

· Grado centesimal

· Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Ángulo nulo



Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.


Ángulo agudo



Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).


Ángulo recto



Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.


Ángulo obtuso


Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).


Ángulo llano, extendido o colineal





Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).


Ángulo oblicuo



Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.


Ángulo completo o perigonal





Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).


Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

Ángulo convexo o saliente



Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).


Ángulo cóncavo, reflejo o entrante



Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).



Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

· ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,

· ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,

· ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

· ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

· ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,

· ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,

· ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,

· ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

TEOREMAS DE ANGULOS 

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales. 

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado por los árabesdurante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad.

Suma y resta del sistema sexagesimal en las matemáticas

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

     1 h   60 min  60 s

     1º   60'        60

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3er paso Se hace lo mismo para los minutos.

Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3er paso Hacemos lo mismo con los minutos.

Sistema Circular o cíclico

Sistema Circular: Es uno de los sistema de medida de ángulos que existe.

En este sistema de medición la unidad de medida es el radián (rad.). Un radián se define como la medida del ángulo, que enbcierra un arco de circunferencia de longitud igual al radio de ésta. Esto es, dada una circunferencia de radio "r", un radián, es la medida del ángulo que forma un arco de circunferencia cuya longitud es "r".

Luego la circunferencia tiene asociada una longitud de 2 veces Pi (3,1415....) radianes.

Suma de angulos

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales:

Para sumar ángulos en forma aritmética, deben sumarse por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado.

Veamos un ejemplo:

1) Primero se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos

2) Se suma cada columna por separado

3) Como el número de segundos (81'') es mayor que 60, se pasan 81'' a minutos, ya que 60''forman 1' (81'' = 1' 21'')

4) Se suman los minutos (53' + 1' = 54'')

5) Como el número de minutos (54') es menor que 60, la suma está terminada.

Rectas paralelas cortadas por una secante

La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos.

Descripción

Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una secante t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos, cuya posición relativa da lugar a su definición.

Denominación de los ángulos

Ángulos adyacentes: Si un lado en común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

Ángulos colaterales internos: que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.

Ángulos colaterales externos: que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.

Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
Lados (como segmento)
Lados (como longitud)
Ángulos

Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó  radianes.)
Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Triángulos Rectángulos Oblicuángulos Obtusángulos Acutángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.

Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos

Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.

Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.

Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.

Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro

Propiedades de los triángulos
Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es , donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

En geometría euclidiana la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Otras propiedades

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de untriángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.

Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. 

Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.

El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

Seno, coseno y tangente.

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.

Elementos notables de un triángulo

Mediana

Medianas de un triángulo

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana . En algunos países (por ej: Chile) se las llama transversales de gravedad, reservando en esos lugares el término mediana para lo que habitualmente se denomina paralela media.

Algunas propiedades de las medianas son:

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.5

Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados ymedianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )6 — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

Mediatriz y circunferencia circunscrita

Mediatrices ycircunferencia circunscrita de un triángulo.

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tresmediatrices, una por cada uno de sus lados ,  y .

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto  equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro  y radio  que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.

En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.

En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

Bisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita

Bisectrices ycircunferencia inscrita de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.

Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Transformación de Ravi en un triángulo rectángulo.

La distancia desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de un punto es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi, en un triángulo rectangulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas. Estas 3 alturas se cortan en un punto único  (son concurrentes), llamado ortocentrodel triángulo.

Propiedades:

Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.

Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.

Alturas por longitud de sus lados

Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las respectivas longitudes de las alturas (ha, hb, hc) aplicando las siguientes fórmulas:

Donde ha es la altura correspondiente al lado a, hb es la altura correspondiente al lado b, hc es la altura correspondiente al lado c y el término  es :

Recta de Euler

Recta de Euler de un triángulo.

Los tres puntos ,  y  están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos ,  y  están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

Teorema de Tales

Los dos teoremas de Tales

Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Primer teorema

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops enEgipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Segundo teorema

fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y losángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo. Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración

fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios

(Corolario 1) En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).

(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la fig 2.2.

Aplicación (Tales - teorema segundo)

Construcción de tangentes (líneas rojas) a una circunferenciak desde un punto P, utilizando el «segundo teorema de Tales».

El “segundo teorema” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntosT y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).